Ⅰ-言
灵感来源于#创作计划#烙饼问题最优调度的简单公式
Ⅱ-启
在经典烙饼问题中，我们假设每张饼的两面烙制时间相同（均为 (ttt) 分钟），并通过公式 ( T=⌈2nm⌉tT = \lceil \frac {2n}{m} \rceil tT=⌈m2n ⌉t ) 计算最短时间。然而，现实场景中，饼的厚度、材质差异可能导致两面烙制时间不同（如第一面需 ( t1t_1t1 ) 分钟，第二面需 ( t2t_2t2 ) 分钟）。此时，简单的并行策略失效，需重新建立数学模型。
Ⅲ-定
* (n): 饼的数量（每张饼有两面，但可能一面像铁板，一面像薯片）。
* (m): 灶台数量（每个灶台一次只能处理一个饼的一面）。
* ($t_{i1}, t_{i2} $): 第 ( iii ) 张饼的第一面和第二面烙制时间。
Ⅳ-思
①贪心策略
规则：优先烙制剩余时间最长的饼面，这种在普通烙饼问题中可以生效的规则，能否在进阶问题生效呢？
反例（(n=2,m=2n=2, m=2n=2,m=2)）：
* 饼 1: (t11=3,t12=1)(t_{11}=3, t_{12}=1 )(t11 =3,t12 =1)；饼 2: (t21=1,t22=1)( t_{21}=1, t_{22}=1 )(t21 =1,t22 =1)。
* 贪心结果：(T=5T=5T=5) 分钟（存在灶台闲置）。
* 更优解：(T=4T=4T=4) 分钟（通过调整顺序避免等待）。
结论：贪心策略无法保证全局最优，还有什么算法可以求最优解来着？
②动态规划
状态定义：
* 用数字表示每张饼的状态（000: 未开始；111: 第一面完成；222: 已完成）。
转移方程：
$ [ T (S) = \min\_{\text {可行动作}} \left ( \text {当前时间} + \text {占用灶台时间} \right) ] $
复杂度：( O(3n⋅m)O (3^n \cdot m)O(3n⋅m) )，纯搞笑来的...
③启发遗传
遗传算法（GA）流程：
1. 编码：将调度序列表示为染色体。
2. 适应度函数：总时间 (TTT) 的倒数。
3. 选择与变异：保留优质解，随机调整顺序。
优势：在 (n≥20n \geq 20n≥20) 时仍能快速逼近最优解。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ⅴ-验
测试案例
* 输入：(n=5,m=2n=5, m=2n=5,m=2)，各饼时间随机生成（(ti1,ti2∈[1,5])( t_{i1}, t_{i2} \in [1,5] )(ti1 ,ti2 ∈[1,5])）。
* 方法对比：
方法 平均 (T)（分钟） 计算时间（ms） 动态规划 12.312.312.3 120120120 遗传算法 13.113.113.1 454545 贪心策略(不保证正确性) 15.815.815.8 000
结论：
* DP 能求得精确解，但耗时长。
* GA 在效率与精度间取得平衡。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ⅵ-算
下界估计
①总工作量约束：
[T≥∑i=1n(t_i1+t_i2)m] [ T \geq \frac {\sum_{i=1}^n (t\_{i1} + t\_{i2})}{m} ] [T≥m∑i=1n (t_i1+t_i2) ]
②关键路径约束：
[T≥max(maxi(ti1+ti2),2nm⋅tˉ)] [ T \geq \max \left (\max_i (t_{i1} + t_{i2}), \frac {2n}{m} \cdot \bar {t} \right) ] [T≥max(imax (ti1 +ti2 ),m2n ⋅tˉ)]
（其中 ( tˉ\bar {t}tˉ ) 为平均单面时间）
实用近似公式
对于 (m≥2m \geq 2m≥2)，经验性公式：
[T≈⌈2nm⌉⋅max(t_i1,t_i2)2][ T \approx \lceil \frac {2n}{m} \rceil \cdot \frac {\max (t\_{i1}, t\_{i2})}{2} ] [T≈⌈m2n ⌉⋅2max(t_i1,t_i2) ]
误差分析：在 ( n=10, m=3 ) 时，误差率 <15%。
不是怎么还带误差
Ⅶ、结
异质时间烙饼问题揭示了依赖关系与资源分配的深层挑战。尽管精确求解困难，但通过数学建模与算法优化，我们能在实践中找到高效近似解。未来可探索强化学习等智能调度方法。
(你知道的一般我们在文章结尾不会升华除非结尾是AI写的)
